PROJET SATELLITE N° 8

MISSION VERS LA LUNE

Qui n'a pas en mémoire la fameuse fusée Saturne V et les missions lunaires américaines à bord de la capsule Apollo. Ce furent les premiers pas sur la Lune et le début d'une exploration du sol lunaire, riche d'enseignement, qui n'a plus eu de suite mais qui reprendra très bientôt.

Le coût de ces expéditions a été jugé prohibitif, mettant en sommeil, pour un temps, ce type de missions. Cependant, se profile dans les prochaines décennies, l'aventure martienne, qui pourrait fort bien utiliser les orbites lunaires comme étapes intermédiaires, et remettre au goût du jour l'aventure lunaire.

Ce projet se propose d'étudier, au départ de manière légèrement simplifiée, quelques éléments de l'analyse de mission d'un voyage aller retour vers la Lune. Ce pourrait être une simulation du voyage dramatique de la mission Apollo 13, qui a utilisé la Lune comme tremplin pour revenir sur Terre, grâce au LM.

I PRESENTATION :

Il n'est pas possible d'envisager une telle mission avec toutes ses contraintes et dans le cadre des équations exactes, depuis l'injection précise au départ de Cape Kennedy et le retour programmé, à une date stricte, dans un océan bien choisi.

1°) SIMPLIFICATIONS :

Nous savons que la masse de la lune n'est pas négligeable devant celle de la Terre. Un repère galiléen simple doit avoir son origine au centre d'inertie du système Terre-Lune. Certes, l'origine du repère est très près du centre de la Terre, mais on ne peut les confondre tout à fait.

La théorie du mouvement relève du problème à deux corps.

La première simplification consiste à choisir O, centre de la Terre, comme origine d'un repère absolu OXYZ que nous définirons ensuite.

La lune a une orbite elliptique, de périgée 356400 km, d'apogée 406700 km, donc de demi grand axe 381550 km. Dans notre deuxième simplification, nous prenons une distance moyenne de D = 384000 km et une orbite circulaire.

NB : Nous pourrions fort bien nous passer de cette simplification et modéliser correctement le mouvement de la Lune. Mais le but du projet n'est pas là.

Nous travaillons en hypothèse képlérienne à deux corps et adoptons la notion de sphère d'influence. Celle de la Lune a un rayon de l'ordre de R = 66000 km.

Approximations sur les positions d'entrée et de sortie : Nous notons L le centre Lune, E_R et S_R les points d'entrée et de sortie réels de la sphère d'influence de la Lune. Un calcul simple de la distance d = LH vous convaincra que pour une vitesse à l'infini de l'ordre de 2 km/s, et un survol à 110 km du sol lunaire, la distance d = 2720 km environ.

Tout ceci pour dire que si l'on confond les points E_R, S_R avec les points Ea, Sa plus simples, on commet une erreur tout à fait acceptable devant les autres erreurs provenant des points de simplification précédents. Ainsi :

Nous négligeons toutes les perturbations gravitationnelles ou autres, et ne conservons que la gravitation newtonienne de la Terre ou de la Lune.

Le mouvement du module lunaire est supposé strictement plan, dans le plan de l'orbite de la lune autour de la Terre.

2°) Trajectographie : Voir la figure

Le travail consistera à déterminer les conditions de tir et de survol de la Lune, permettant d'aller survoler la Lune et de revenir en direction de la Terre, si possible au voisinage de la Terre et d'assurer des conditions de rentrée atmosphérique, au prix s'il le faut de quelques corrections de trajectoire.

a) Paramètres de la mission : V_p, R_pT, Yo, R_PL ( on pourra garder R_pT constant )

Les deux "bons" paramètres sont Vp ( Vitesse de tir absolue au périgée, près de la tere ) et Rpl ( Rayon vecteur du périgée de survol de la Lune ). Ce sont eux qui vont, en frande partie, régir le problème.

INJECTION SUR C1: Faite près de la Terre ( au dessus de 190 km sol), au périgée de rayon R_pT, dans le orbital de la Lune. L'orbite de transfert, hors sphère d'influence lunaire, est une ellipse C1, de demi grand axe a₁ et d'excentricité e₁.

POSITION DE LA LUNE : Au moment du tir, la Lune est dans une position repérée par un angle polaire Yo. Cet angle doit appartenir à une plage ( Yomin, Yomax ] pour que la rencontre de C1 et de la sphère d'influence soit possible. De plus dans cette plage, la valeur de Yo conditionne le tremplin gravitationnel, qui peut être par derrière ou par devant la Lune. On privilégiera un survol par l'avant de manière à assurer le retour vers la terre.

SURVOL DE LA LUNE : Dans la sphère d'influence de la Lune, l'orbite est hyperbolique, passant au plus près de la Lune à la distance R_pL > 80 km. En pratique, il faudra essayer de passer vers 110 km, car c'est l'altitude de travail des américains p0our les missions Apollo 11 et au dessus.

Le dessin ci-après ne montre pas une hyperbole, car la trajectoire n'est pas vue de la Lune, mais du repère fixe OXY, c'est à dire déformée par le mouvement de la Lune, ce qui explique la forme de huit.

L'entrée réelle se fait en E_R avec une Lune en L1 et la sortie réelle en S_R avec une Lune en L2.

RETOUR SUR C2 : Hors sphère d'influence de la Lune, la trajectoire C2 après le tremplin lunaire est une ellipse caractérisée par a₂ et e₂, dont on espère un périgée proche de l'atmosphère terrestre.

La rentrée atmosphérique est possible si l'angle de rentrée est de l'ordre de 6 à 7°, à 120 km sol.

II PRELIMINAIRES :

De toute évidence, ce voyage ressemble à celui d'une mission Apollo, qui durait 2.5 jours environ pour rejoindre la Lune. Un calcul sommaire, oubliant la sphère d'influence de la Lune, montre qu'un tir avec Vp=10948 m/s et rp=6600 km conduit à une telle durée, pour le voyage aller.

En pratique vous prendrez une vitesse comprise entre 10880 m/s ( apogée à 316000 km pour juste effleurer la sphère d'influence ) et 10990 m/s ( Vitesse de libération qu'on pourrait cependant dépasser ).

Nous adoptons ces valeurs extrêmes, au départ.

1°) Calcul d'un contact moyen tangentiel. :

Vous rechercherez d'abord la position de la Lune, définie par l'angle noté Y_moyen, qui conduit à un contact tangentiel, entre la trajectoire sonde et la sphère d'influence. (Voir dessin ci-après).

La configuration géométrique montre que la vitesse relative de la capsule par rapport à la Lune est orientée vers l'intérieur de la sphère d'influence. La descente vers la Lune est donc possible.

2°) Calcul de la plage des positions de la Lune. :

Vous déterminerez la plage dans laquelle doit se trouver la Lune au moment de l'injection en P, pour qu'une rencontre soit possible. Pour ne pas résoudre 2°) au hasard, on recherchera la limite basse Ymin et la limite haute Ymax, autour de la valeur Ymoyen. D'où l'utilité de 1°) qui n'est cependant pas une obligation.

Le bon sens indique qu'un survol de la Lune existe si et seulement si la distance Lune-capsule peut devenir plus petite que R et que la vitesse à l'infinie est bien orientée vers l'intérieur de la sphère.

A toute fin utile, on rappelle que, si l'angle polaire est q, la pente g vaut, algébriquement :

3°) Plage des survols avant :

Survol avant signifie à la fois que la sonde atteint la sphère d'influence lunaire et aussi que l'asymptote de l'hyperbole de descente vers la lune est devant la lune avec une trajectoire hyperbolique qui ne percute pas la Lune.

De toute évidence si l'on veut espérer un retour sensiblement vers la terre, après survol, il faut impérativement effectuer un survol de la Lune par l'avant. C'est ce qui était fait avec Apollo, et qui s'impose dans la théorie du tremplin gravitationnel.

Vous calculerez donc une nouvelle plage plus restreinte des survols avant, qui devrait commencer à Ymin, puisque la Lune doit laisser prendre "un peu d'avance" à la capsule.

III TRAVAIL A REALISER :

1°) LE VOYAGE COMPLET :

Dans la plage précédente, vous choisissez une position initiale Y de la Lune et vous vous fixez une altitude de survol de la Lune > 80 km, ou encore r_pL:

Vous calculez la rencontre en E_R.

Il est alors l'heure t₁, la Lune est en L₁

Vous calculez la vitesse relative

Vous précisez tous les éléments importants de l'hyperbole (E, a, e, temps de descente Dt, b ) et notamment le vecteur vitesse à l'infini de sortie.

Vous confondez E_R et Ea, S_R et Sa et vous recherchez la position et la vitesse géocentrique au point de sortie Sa, au temps t₂ = t₁ + 2Dt.

Avec les vecteurs position - vitesse, vous êtes maintenant capable de calculer tous les éléments intéressants de l'orbite C2 et notamment : a₂, e₂, T₂, rp₂.

Vous déterminez si une rencontre avec la Terre est possible dans des conditions acceptables. Dans l'affirmative vous donnez les conditions de rentrée à 120 km su sol terrestre : Vitesse absolue et angle de rentrée.

Un double balayage sur les deux paramètres Y et r_pL devraient donner satisfaction.

Des courbes donnant les variations de a, e, rp en fonction de tel ou tel paramètre, seraient certainement utiles.

Vous pouvez aussi jouer sur la vitesse de tir initiale, pour apprécier le temps de vol et la largeur de la plage des positions Lune.

Le sujet vous laisse aussi la possibilité de faire preuve d'imagination.

2°) UNE CORRECTIONS SOMMAIRE DE TRAJECTOIRE :

Dans votre recherche, vous ne trouverez certainement pas la bonne trajectoire de retour, donnant un périgée virtuel vers 80 km du sol, assurant une rentrée atmosphérique, à 120 km du sol, sous une pente g=6°.5, à la manière d'Apollo.

Tout n'est pas perdu pour autant. En effet le véhicule possède une motorisation lui permettant d'effectuer des corrections de trajectoire, rendues nécessaires, après restitution d'orbite, pour "recaler" les paramètres, ou en final pour donner les conditions précises de rentrée en atmosphère terrestre.

Vous vous placerez au temps t₂ de sortie en Sa, la vitesse ayant une valeur géocentrique V.

Manoeuvre simplifiée, pour vérifier qu'avec 300 ou 600 m/s de freinage, on peut amener la trajectoire de retour à passer au périgée à 80 km du sol terrestre.

Essayez par exemple de réduire colinéairement la vitesse : V ----> kV avec k<1, autant dire un freinage de DV=(1-k)V.

3°) UNE CORRECTION IMPULSIONNELLE PRECISE DE TRAJECTOIRE :

Il est évident que la correction précédente aussi précise que possible, aura présenté quelques écarts, soit de position (erreur de restitution de trajectoire) et de vitesse (erreurs de centrale inertielle et de restitution initiale).

Une nouvelle restitution de trajectoire, montre que le périgée virtuel dépasse de 50 km celui prévu.

Comme la rentrée doit être rigoureusement calée, vous devez rétablir la bonne valeur. Vous effectuez donc, 5 heures avant la rentrée, une correction de type impulsionnel avec 2 incréments de vitesse inconnus DV_T et DV_R, tangentiel et radial.

Vous utiliserez la théorie des corrections impulsionnelles et déterminerez la correction optimale qui minimise la norme du vecteur incrément de vitesse.

Vous rétablirez le PERIGEE VIRTUEL, par une variation Dr_p = -50 km , en utilisant : Dr_p= (1-e)Da - aDe.

4°) Le vol réel: sous l'effet conjugué des deux attractions, une intégration numérique permettrait de juger de la précision des calculs précédents. A vous de jouer si le temps vous le permet.

L'auteur, qui a préparé ce projet, serait vivement intéressé par le résultat de la comparaison des méthodes.

IV RENTREE TERRESTRE :

1°) UNE CORRECTIONS PRECISE DE TRAJECTOIRE :

Vous connaissez au sortir de la sphère d'influence, le vecteur vitesse V et le vecteur position Ro, géocentriques. Vous êtes donc en mesure de calculer toutes les caractéristiques de l'orbite C2.

Il n'y a très peu de chance qu'elle vous amène au point de rentrée désiré dans l'atmosphère terrestre.

Cette partie théorique est destinée à préciser les réglages nécessaires, après le contournement de la lune, pour réaliser un retour vers la terre et une rentrée correcte dans l'atmosphère de notre planète.

Nous savons qu'un paramètre capital d'une rentrée à une vitesse proche de la libération, est l'angle de rentrée g_E. Nous le supposons imposé. De plus, le point de chute de la cabine doit être minutieusement choisi, pour faciliter la récupération en mer ( pour les USA ), en évitant une zone de tempête. Ces contraintes imposent donc en général un temps de vol depuis la sortie de l'espace lunaire et l'arrivée aux limites des couches atmosphériques, temps de vol noté Dt, que nous supposons fixé

Nous souhaitons calculer les éléments de la manœuvre (w, DV), permettant un trajet de durée Dt et un angle de rentrée g_E.

BUT A REALISER :

L'essentiel est d'obtenir une trajectoire C, qui pénètre l'atmosphère sous une pente de 6°.5. L'altitude de rentrée est conventionnellement fixée à Z_E = 120 km sol. Nous pouvons aussi nous imposer un temps de retour, capital pour arriver dans le bon océan, à la bonne heure, de jour si possible.

Données connues sur l'orbite C :

R_E =R_T+120 = 6578 km le rayon d'entrée

g_E = 6°.5 la pente fixée

Ro vecteur connu de la position au sortir de la sphère d'influence lunaire.

V vecteur vitesse connu, au sortir de la sphère d'influence lunaire.

Dt la durée souhaitée du retour ( paramètre ajustable de l'ordre de 2 à 4 jours )

Données inconnues de l'orbite C :

a demi grand axe

e excentricité

q_E angle polaire du point d'entrée, compté entre 0° et 360°, en tenant compte du sens du mouvement.

qo angle polaire de la position Ro, compté entre 0° et 360°, en tenant compte du sens du mouvement.

Ces angles sont probablement entre 180° et 360°, tout comme j_E et j_o.

Les pentes g ou g_E, sont comptées >0 en montée et <0 en descente.

CONCLUSIONS : Avec autant d'inconnues que de données, il semble possible de résoudre le problème et de calculer a , e, q_E, qo sur l'orbite C, après correction.

Vous connaîtrez donc la nouvelle vitesse Vo au point de sortie, après correction et déduirez donc, la correction DV à effectuer. Vous donnerez l'altitude du PERIGEE dit "VIRTUEL" de C.

Vous ne manquerez pas d'étudier et de présenter les variations de DV en fonction du temps imposé Dt.

2°) FIGURE ET DONNEES GENERALES :

3°) RESOLUTION :

Posant une nouvelle inconnue X=ecosq_E, il vient grâce à l'équation (3) : X²+2sin²g+sin²g-e²cos²g=0, équation dont nous tirons la racine >0.

Enfin l'équation (4) fournit une équation transcendante, permettant le calcul de e, valeur acceptable uniquement si e<1.

Sa résolution donne la valeur de e si celle existe, c'est à dire si un retour elliptique est possible. Il faut donc s'attendre à ce qu'un temps de retour trop court ne puisse être réalisé en elliptique.

Tous les éléments de l'orbite C de retour sont alors déterminés. On pourra donc sans trop de difficultés calculer l'incrément de vitesse DV nécessaire, au sortir de l'influence lunaire, pour réaliser une rentrée correcte.

Si le temps de retour n'est pas un obstacle, on pourra étudier alors l'évolution de DV en fonction de Dt et ainsi obtenir la correction optimale, qui conduit dans tous les cas à un angle de rentrée imposé. Naturellement, dans ce cas on ne maîtrise pas le point de chute sur la terre.

En pratique, un balayage sur le temps et simultanément sur le point de chute (ce que vous ne chercherez pas à faire ) conduira à un éventail de possibilités, dans lequel on choisira la solution la plus confortable. Vous donnerez alors le périgée virtuel de l'orbite C.

V POUR LES USAGERS DE MATLAB:

Les amateurs de calculs sous matlab, pourront consulter un fichier lisez-moi qui explique les calculs et s'ils sont intéressés récupérer l'ensemble des fichiers "zippés".

Le étudiants possédant l'intégralité du site ou ceux travaillant en Intranet, peuvent récupérer les fichiers dans le répertoire: mecaspa\projets\lune\matlab.

GUIZIOU Robert 2 février 2000, sept 2011